Fine secolo - 30 marzo 1985

«Il Generale delle Nubi viaggiava a Oriente, al di là dell'Albero dei Cicloni, quando incontrò Indistin- . zione. Questi JXISSeggiavasaltel– lando come un uccello battendosi le natiche. Il Generale delle Nubi · scorgendolo si fermò bruscamen– te. In piedi, immobile, chiese: "Padre, chi sìete? Che cosa fate ·?" ·qui . ... "Non lo so. Non lo sol" rispose Indistinzione scuotendo il capo, sempre saltellando come un uccel– lo e battendosi le natiche». (Zhuang-zi, filo~ofo cinese, IV sec. a.C.) Prima le Catastrofi, ora il Caos. Con nomi adeguati al gusto apocalittico di questo fine-millennio, teorie matematiche, che i più avrebbero considerato fino a qualche tempo fa astruse, hanno raggiun– to il vasto pubblico. Non solo gli scienzi~r ti naturali, ma economisti, politologi, se– miologi, musicologi ecc. si sforzano di costruire mode1li matematici in cui l'even– to (la Catastrofe ieri, il Caos oggi) si ma– nifesti; si organizzano dibattiti; si scrivono articoli sui giornali (come questo ad esem– pio) ; ne parlano filosofi, scrittrici, baristi. L'addetto ai lavori può essere tentato da una reazione aristocratica, e un po' pe– dante: sotto altri nomi -dinamiche com– plesse, strani attrattori- la possibilità di comportamenti "caotici" per sistemi in evoluzione nel .tempo era ben nota ai ma– tematici da almeno una ventina di anni, se non da prima (Poincaré alla fine deil' 800...). Eppure questi nomi che fanno presa han– no una ragione d'essere che va al di là del– la moda, in cui tutti i gatti diventano gri– gi, o variopinti, ché é lo stésso. La matematica, che é logica, rigore, eostru– zione di un ordine, scopre nei suoi stessi modelli la possibilità di rottura dell'ordi– ne, di irregolarità, di irremovibilità. D-i qui il progetto ambizioso di interpretare con questi modelli ciò che in natura pre– senta le stesse caratteristiche (di passaggio dall'ordine al disordine, di estrema varia– bilità, di comportamento turbolento). Anzi é successo che sono stati degli scien– ziati naturali (un metereologo e un biolo– go) a fornire ai matematici modelli parti– colarmente semplici in cui il caos e la transizione al caos si manifestavano. La turbolenza Sulla lavagna é disegnato un rubinetto da cui esce un filo d'acqua. Così iniziano spesso le conferenze del fisico-matematico francese David Ruelle, uno dei pionieri del caos, Se il rubinetto non é troppo aperto, il flus– so dell'acqua che ne esce é liscio e regolare -come se le molecole scorressero l'una a fianco dell'altra, ordinatamente. Aprendo sempre di più il rubinetto, si notano ad un certo punto piccoli vortici che si formano ai lati di un flusso ancora complessiva– mente regolare; poi i piccoli vortici cresco– no e, quando il rubinetto é del tutto aper– to, quello che si osserva é un processo totalmente disordinato, la cosiddetta tur- bolenza. · Per quanto il fenomeno sia familiare all'e– sperienza quotidiana (si pensi, oltre al ci– tato rubinetto, alla confluenza di due fiu- Fine millennio I TEMATICI DEL CAOS di Marcello GALEOTTI e Franco GOAi Lettore avvisato ... Questo servizio sul Caos é composto da due pezzi: un articolo introduttivo e una .Ychedasulla ''funzione logistica". La _scheda é rivolta Rrincipalmente ·achi ha una certa familiarità.con la matematica. Beninteso: la comprensione di ciò che vi é scritto non , richiede più d~· ualche ricordo liceale, ben conservato od opportunamente rin rescato. Quanto a ciò che non é scritto, ma cui sono sparse alcune a lusioni, -ci auguriamo che possa, in minima parte, favorire l'inclinazione da cui dipende, infondo, la vitalità di ogni · conoscenza: vale·a dire la.curiosità dilettante. _ nii o ·all'agi_tarsi di una fiamma), la spiegazione della turbolenza é stata per secoli, ed é ancora, una sfida per fisici e matematici. Propri o David Ruelle, in un articolo scritto nel 1971 .in collaborazione con il matematico norvegese Floris Ta- _kens, ha avanzato l'ipotesi che la turbo– lenza idrodinamica fosse originata dalla ·· comparsa--di ·"strani ·attrattori" ;_·-una delle caratteristiche dei modelli caotic{ Questa ipotesi, che ha prodotto una infinità di ri– cerçhe, articoli, convegni, é di fatto anco– ra controversa. mente determinati. Tuttavfa i risultati del– le simulazioni con il computer si rivelarono sotto molti aspetti sorprenden– ti. Modificando di poco i dati iniziali della temperatura e della pressione, si otteneva– no infatti previsioni sui comportamennti métereologici successivi assolutamente di- ···verse. Compariva cosh1n aspetto comune ai fenomeni classificati caotici: l'estrema sensibilità rispetto alle condizioni iniziali, cioé il fatto che un piccolo cambiamento nei dati osservati all'inizio del fenomeno (tale da poter rientrare benissimo nei limi– ti dell'errore sperimentale) ne altera so– stanzialmente e imprevedibilmente l'evo– luzione successiva. Lorenz stesso usò per primo una immagine suggestiva per illu– strare questo stato di cose: il battito d'ali, oggi, di una farfalla a Hong- Kong può in– fluenzare il clima, il prossimo mese, a Londra. FINE SECOLO* SABATO 30 MARZO 21 -sia stato l'inizio di una lunga storia mate– matica, stimolando lo studio degli strani attrattori e suggerendo che la loro presen– za in sistemi dinamici non-lineari sia tut– t'altro che eccezionale, per il sistema di Lorenz stesso l'esistenza di uno strano at– trattore non é stata ancora provata (que– sto, se anche implicasse, come é improba– bile, un comportamento ciclico del clima nell'arco, diciamo, di qualche milione di anni, non potrebbe però essere di grande conforto per i metereologi). Popolazione di insetti e transizione al caos La turbolenza costituisce un esempio fisi– co del passaggio da un comportamento regolare ad uno irregolare, dal semplice al complesso, dall'ordinato al caotico. Ma esistono di questa transizione esempi an– cor più elementari, in cui é possibile dare una descrizione esauriente del modello matematico. Un professore di Princeton, Robert May, ha studiato all'inizio degli anni '70 uno dei sistemi più semplici che possono inte– ressare un ecologo: quello di una popola– zione di insetti che ha un ciclo di vita sta– gionale, le cui generazioni non si sovrappongono. I dati stagionali consisto– no in informazioni riguardo al numero di abitanti di una colonia e possono essere ottenuti con relativa facilità. Il modello matematico che cerca di descrivere la va– riazione della popolazione nel tempo é del ' tipo "dipendente dalla densità": ovvero la quantità di abitanti di una generazione di– pende da quella nella generazione prece– dente, e ne è maggiore o minore a seconda che la densità di quest'ultima abbia rag– giunto o meno una determinata soglia, di– pendente dal cibo disponibile. Al variare della quantità di cibo -che co– ·stituisce il parametro del sistema- la nu– merosità' delle generazioni successive pre– senta diversi tipi di evoluzione (vedi la scheda su la "funzione logistica"). Quello che é sorprendente é che, quando la quan– tità di cibo raggiunge un determinato va~ · lore, tale evoluzione· diventa imprevedibi– le: il numero di abitanti nelle generazioni successive varia in modo apparentemente casuale (riducendosi o dilatandosi) da un anno all'altro. Un tale tipo di comportamento, dedotto dall'analisi matematica del modello, si' é visto che corrispondeva abbastanza bene, nonostante le forti semplificazioni, all'evi– denza sperimentale per molte classi di in– setti, in particolare nel bacino mediterra– neo. Tuttavia già esisteva un·modello matema– tico particolarmente semplice di uno dei fenomeni fisici che presenta- le più com– plesse turbolenze (il comportamento del– l'atmosfera terrestre). In questo modello, elaborato da Edward Lorenz del MIT nel 1963, un o strano attrattore poteva, attra– verso.le simulazioni effettuate con compu– te r, "quasi" vedersi (nella fig. l sono mo– strate rispettivamente una fotografia dell'atmosfera scattata da un satellite ed una simulazione relativa al sistema di Lo– renz). Come le farfalle influenzano le pre- Ce n'é abbastanza per giustificare teorica– mente, almeno per quanto riguarda item– pi lunghi, la diffidenza dei telespettatori più ostinatamente scettici verso le sempre · più "scientifiche" previsioni- mètereologi- . ' Le conseguenze epistemologiche di risul– tati del genere sono tratte da May stesso in un suo articolo su "Nature" del 1976: «Il fatto che una semplice equazione de- terministica può possedere traiettorie di– namiche che somigliano ad un disturbo casuale ha fastidiose implicazioni prati- . visioni del tempo Nel modello di Lorenz la fisica dell'atmo– sfera é rappresentata da un sistema di tre equazioni differenziali non lineari (in cui cioé le variazioni delle coordinate non sono proporzionali alla loro grandezza). Si tratta di quello che si chiama un siste– ma deterministico: date le equazioni, e noti i valori delle coordinate a un tempo tO, sappiamo che i loro valori a un qua– lunque tempo successivo t. sono univoca- che. Ah, Bernacca, se tu dovessi tener conto della farfalla di Hong-Kong. Le simulazioni del modello di Lorenz sug– gerivano inoltre, come si é detto, la pre– senza di uno strano attrattore: cioé un punto che partiva da una configurazione iniziale tipica del sistema si muoveva irre– golarmente da una ad un'altra regione dello spazio, disegnando una curva sem– pre più simile ad una complicata figura geometrica, una specie di intricatissimo labirinto. E' curioso notare che, per quanto questo che. Significa, per esempio, che fluttuazio– ni apparentemente erratiche nei censimen– ti di una popolazione animale non devono essere necessariamente imputate a impre– vedibili mutazioni ambientali o ad errori di campionatura: esse possono semplice– mente derivare da una relazione di cresci– ta della popolazione rigidamente determi– nistica... Alternativamente, si può osservare che in regime caotico condizioni · iniziali arbitrariamente vicine possono condurre a traiettorie che, dopo un tempo abbastanza lungo, divergono fortemente.