Fine secolo - 30 marzo 1985
Ciò significa che, anche se abbiamo un modello semplice nel quale tutti i parame– tri sono determinati esattamente, le predi-· zioni a lunga scadenza sono nondimeno impossibili», In effetti quanto esposto sopra può anche, dopo un primo comprensibile smarrinie.n– Lo, essere paradossalmente dì qualdì~ conforto per lo scienziato teorico: l'osser– vazione di comportamenti aleatori, impre.:. vedibili non basta a mettere in causa l'effi– cacia interpretativa del suo modello. I guai («le fastidiose implicazioni pratiche») ..,j presentano invece per chi vuole o deve applicare dei modelli scientifici. Si pensi, nel caso in questione, all'imbarazzo di una industria di pesticidi ·che deve pro– grammare la produzione necessaria per lo ,tcrminio di un certo tipo di insetti. Per quanto questo potrebbe essere un buon :1rgomento per i "verdi" ... Dall'atomo ali' economia: i molti usi del caos I)i fenomeni irregolari che non sappiamo descrivere il mondo é pieno, ed uno stru– mento formale che prometta di rappresen- 1arli non ci mette molto a di-venire "di moda.,. Così di modelli che fanno riferi– mento a strani attrattori ed a comporta– menti caotici la letteratura scientifica ha l.·ominciato ad abbondare nei campi più diversi. l n a-tronomia ad esempio le missioni in– tèrplanetarie dei satelliti USA hanno crea– In problemi di non facile soluzione. Molti di questi si riferiscono a Saturno. C'é il l:aso in particolare di una sua luna, Ipe– rion. che ruota intorno al pianeta «saltel– lando in qua e in là come un vecchio uhriacone». Iperion non ha un bell'aspet– l n come luna: la sua forma é irregolare e bitorzoluta, come quella di una patata L·nlpita da una scarica di pallini. Appunto Ji questa strana forma ha tenuto conto un !!ruppo di ricercatori dell'Università di t. ·alifornia nel riscrivere le equazioni del moto. In questo modo il mistero del suo l.·omportamento é stato forse spiegato. Le 'iol uzioni del problema infatti presentano proprietà caotiche che corrispondono ab-=– hastanza bene al fenomeno osservato. l J n ·altra applicazione interessante riguar– da i tentativi di. utilizzare il processo di fu– 'iione nucleare per la produzione di ener– gia. Una delle difficoltà in cui ci si imbatte 0 quella di mantenere il "combustibile" - in questo caso un fluido ad altissima tem– reratura costituito da atomi di idrogeno, chiamato plasma- all'interno di un poten– te campo magnetico, evitando l'apparizio– ne di fenomeni· turbolenti. I tentativi in 4 uesto senso finora non sono riusciti. Il L·aos sembra fornire una spiegazione di 4 uesto insuccesso: infatti, usando la den– sità del plasma o l'intensità del campo magnetico come parametri, alcuni ricerca– t,)ri di Princeton hanno trovato che i loro modelli finivano per raggiungere un regi– me caotico. La conferma di questi risultati implicherebbe tra l'altro la necessità di cambiare il modo in cui sono disegnati oggi i prototipi di reattori a fusione. Questo tipo di matematica può, secondo alcuni, spiegare anche certi disordini del cuore e del cervello. La fibrillazione ven– tricolare, ad esempio, é stata simulata con un computer variando la durata delle con– trazioni delle fibre muscolari dei ventrico– li. Si é osservato allora un fenomeno ca– ratteristico della transazione al caos: il progressivo raddoppiamento di uno dej ritmi cardiaci, fino allo stato in cui il cuo– re batte in un modo del tutto disordinato. Analogamente le crisi epilettiche sono sta– te intepretate attraverso le risposte che le cellule nervose danno ad uno stimolo elet– trico. L'idea di alcuni studiosi del Medicai College of Pennsylvania é che tali crisi possono diffondersi, a somiglianza del già ricordato "effetto farfalla" nelle previsio– ni del tempo, a partire da ìnst~bilità mol- . . . . . 7rr ,·• .. jl;ç:.7,y' :; ,.. ,,< \~~{11; •,; . --:Jf:.; l' .f\ ._:;· to piccole in un piccolo numero di cellule cerebrali. In campo economico fenomeni di natura irregolare e fluttuazioni erratiche sono al– l'ordine del giorno. A lungo si é tentato di spiegarli come dovuti all'esistenza di tur– bamenti casuali impossibili da controllare o prevedere. La teoria del caos offre inve– ce la possibilità di interpretarli a partire da semplici modelli deterministici, in cui le· irregolarità si ottengono "naturalmen– te" facendo variare uno o più dei parame– tri che compaiono nel sistema. Tra i primi a lavorare su queste ipotesi vi sono stati R.Day e J.Benhabib, della Università ·del Sud-Carolina, che hanno studiato la dina– mica di un modello economico in cui un consumatore sceglie tra diversi panieri di beni, secondo un ordine di preferenze che muta nel tempo sulla base dell'esperienza da lui accumulata. I risultati ottenuti mo– stravano che, supponendo ciclica la varia– zione delle preferenze (come l'alternare di anno in anno vacanze al mare e ai monti), un insieme di regole razionali conduceva, in molti casi, il consumatore a comporta– menti fluttuanti ed imprevedibili, appa– rentemente casuali, senza bisogno di ri– correre per la loro spiegazione ad alcun· turbamento esterno. In effetti analoghi comportamenti erratici emergono in molti modelli economici classici di crescita e di ciclo, suggerendo forse che il disordine in economia possa derivare non tanto dalla violazione, quan– to dalla ligia applicazione delle sue "ferree leggi". DAl,I,'ORDINE AL CAOS ERITORNO "/ wish he would explain His Explanation" ( Vorrei che spiegasse la Sua Spiegazione) George Byron - Don Giovanni Supponiamo di voler descrivere un fenomeno che si sviluppa nel tempo. Potrà trattarsi di un fenomeno fisico, biologico, od anche apparte– nere a settori di ricerca diversi da quelli delle scienze naturali. Se vogliamo usare un linguaggio matematico il percorso da seguire ha un carattere standard. In primo luogo si tratta di isolare quelle gran– dezze che appaiono rilevanti nel fornire una d_escrizionecompleta del processo in esame. Studiando la riproduzione di una colonia bat– terica in un brodo di coltura, basterà osservare la variazione nel tempo del numero di mi– croorganismi presenti. Mentre in epidemiolo– gia il diffondersi di una malattia infettiva, che non renda immuni i soggetti che l'hanno con– tratta, potrà essere analizzato guardando alla frazione che esprime il rapporto tra individui colpiti e popolazione totale. In entrambi questi casi una sola grandezza è sufficiente a rappre- .. • I f ;/_; ~" \ Yr.. ,.\\~"'"-- .. ·•;? :::; \ .-:11·-.. : ' ::: -.::::· ~t:. ·-.. . ./.•,'?_./: :::\\\~:: Figura 1 sentare il fenomeno. Si ·parla allora di modelli unidimensionali. , Se consideriamo, invece, la dinamica di due specie animali, una di "prede" e l'altra di "pre– datori", dovremo assegnare una coppia di va– lori distinti: la numerosità di ciascuna delle po– polazioni in competizione. Il processo ha di– mensione due. Ma non è difficile immaginare fenomeni in cui le grandezze necessarie a defi– nire le diverse configurazione sono in numero molto maggiore o addirittura infinito. Il secondo problema consiste nel fornire una rappresentazione formale della dinamica del fenomeno osservato, la sua "legge di moto". Nei casi più semplici quella che si assegna è una regola che permette di determinare lo sta– to del sistema ad up dato istante, nota che sia la configurazione assunta nell'istante immedia– tamente precedente. Pensiamo di modellare lo sviluppo di una po– polazione di insetti le cui generazioni successi– ve non si sovrappongono, in cui cioé nessun individuo vive ·abbastanza per vedere i figli nati dalle uova che lui stesso ha fecondato o deposto. 'Se X(n) indica il numero degli insetti dopo n generazioni e quindi X(n +I) è il numero degli insetti nella generazione successiva, il proble– ·ma che un biologo deve risolvere riguarda il le– game esistente tra queste due grandezze, ovve– ro come la seconda possa essere ricavata a par– tire dalla prima. Quale che sia la risposta in questo caso parti– colare, una relazione del tipo precedente potrà sempre essere scritta nella forma X(n+ 1) = f(X(n)), dove con la lettera f si indica la "legge del moto", ovvero la regola che associa al numero X(n) degli insetti che vivono al tempo n il nu– mero X(n + 1) degli insetti che vivono al tempo n+ 1. Naturalmente la formula scritta è molto più generale e non si riferisce al solo esempio per cui è stata introdotta, ma può descrivere un qualunque fenomeno che si sviluppa lungo una successione di intervalli di tempo e per cui si ammette che lo stato del sistema in un certo istante determini completamente lo stato del sistema nell'istante che segue. L'equazione X(n+ I) = f(X(n)) fornisce un esempio di sistema dinamico discreto, dove l'aggettivo "discreto" si riferisce alla scelta di rappresentare il tempo mediante una succes– sione, finita o infinita, di date distinte. Una volta determinata la grandezza che com– pare nel simbolo X, e resa esplicita la· legge f che ne regola la variazione, la costruzione di un modello matematico. che simuli la dinamica del processo reale é completa. Quello che resta da fare é cercare di capire «dove le nostre equazioni potranno portarci»: dire ad esempio come apparirà il sistema ad una data futura, se·si é sviluppato secondo la legge f a partire da una configurazione iniziale nota X(O). Il problema diviene esclusivamente analitico: possiamo dimenticare quale é il fenomeno a cui si riferisce l'equazione scritta, per concen– trarci soltanto sulle sue proprietà matemati– che. Le domande non sono in genere molte. Interessa sapere come si comporta il sistema dopo un intervallo di tempo sufficientemente lungo; se i valori della grandezza rappresentata da X si avvicinano a dei "valori limite" fissati; se processi che partono da configurazioni ini- .ziali sufficiehtemente vicine presentano o ' .•· meno uno stesso andamento "qualitativo"(se cioé si comportano allo stesso modo). Non si tratta di problemi semplici. Quasi sem– pre le difficoltà che si incontrano nel computa– re lo stato del sistema ad una qualunque data n risultano tecnicamente insormontabili. La parola "caos" si riferisce tuttavia ad un tipo di difficoltà più inquietante e profondo di questo primo sbarramento analitico. Può acca– dere infatti che leggi del moto elementari defi– niscano dinamiche per cui è teoricamente im– possibile dare una risposta alle domande pre– cedenti, e che il comportamento del sistema abbia natura così irregolare da rifiutare, appa– rentemente, una qualsiasi descrizione. Un caso sempllce di. di.namica compless_a Cerchiamo di dare un'idea di come questo pos– sa accadere. Ritorniamo all'esempio di una popolazione di insetti le cui generazioni non si sovrappongo– no. Il più semplice modello che possiamo co– struire è quello in cui si ipotizza che il numero degli individui alla data n + I sia proporzionale al numero degli individui alla data n. L'equa– zione del moto ha la forma: X(n+ 1) = a X(n) dove a è maggiore di uno se la popolazione au– menta, minore di uno se la popolazione dimi– nuisce. Per fissare le idee, supponiamo a = 2. Il nume– ro degli insetti raddoppia quindi di generazio– ne in generazione, e, quale che sia la popola– zione iniziaie, diventerà col tempo più grande di un qualunque valore prefissato. Una situa– zione opposta la si osserva per a = 1/2. In tal caso la popolazione si dimezza da una genera– zione all'altra, e gli insetti finiranno per estin– guersi dopo un periodo sufficientemente lun– go, indipendentemente dalla loro quantità alla data O. Non è difficile convincersi che, salvo per un dso particolare, questi due andamenti sono i soli che possono presentarsi, anche per valori del coefficiente, nel nostro modello sempre po– sitive,,diversi da 2 ed 1/2. Si avrà infatti cresci– ta della popolazione, con il numero degli inset– ti che "tende all'infinito" per ogni a più gran– de, e riduzione progressiva fino alla scompar– sa, per ogni a più piccolo di uno. Quando a è uguale ad l,lno, saremo invece in una situazione di equilibrio: la popolazione si ripresenta di anno in anno sempre uguale a se stessa senza crescere né diminuire. Il valore uno del parametro ha dunque un ca– rattere singolare: è un valore "critico" che se– para i due regimi "strutturalmente" diversi in cui può trovarsi il sistema. In gergo si dice che la classe di equazioni X(n + I) = a X(n) ha una "biforcazione" per a = I: il processo rap– presentato cambia repentinamente la sua natu– ra quando il parametro attraversa questo valo– re. Il modello che-abbiamo discusso non presenta nessun carattere caotico. Le dinamiche possi– bili sono semplici e regolari: crescita senza fine o progressiva estinzione della popolazione, passando attraverso il caso singolare di una popolazione stazionaria. Si tratta tuttavia di uno schema estremamente semplificato. In natura una popolazione che occupa una certa area non può espandersi sen– za fine. Le risorse di cibo sono limitate e prima o poi si verifica un "effetto densità": se gli abi– tanti sono troppi il loro numero tende a decre-
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