Fine secolo - 10-11 agosto 1985

lL CANEURIQUO E I ~~ DEL TORO Paradossi e rompic'!I!'!_ matematici di, merz agosto A gos10. Pomeriggi tappati in casa per chi odia le sabbie roventi; oppure, stc– si su un prato dopo una defatigante camminata in montagna, e assaliti da ogni spe– cie d'inselli; o ancora, notti insonni in cillà . con nausea da televisione. Quali occasioni mi– gliori per distrarre ed esercitare la mente? Su un dannato problemino matematico? Eccone dunque un modesto norilegio. Paradossi Ogni paradosso è una caccia all'errore. Il pri– mo esempio è quello di un risultato geometrico davvero paradossale: Teorema tutti i triangoli sono isosceli. Dimostra:ione: sia dato un triangolo ABC sia K il punto di incontro della bisettrice del– l'angolo in A e dell'asse del segmento BC (vedi figura l ). Conduciamo da K le perpenrncolari ai lati AB ed AC, e siano P e Q i loro piedi. I due triangoli rettangolari AQK e APK sono uguali, poiché hanno l'ipotenusa AK in comu– ne e l'angolo QAK uguale all'angolo PAK (poichè AK è bisettrice dell'angolo BAC). Pertanto AQ=AP e QK=PK. Consideriamo ora il triangolo KBC: è un triangolo i~,,.,cele, in quant<;>la mediana KM coincide c, •11 l'altezza. Dunque Kli=KC. Di qui deriva che i due triangoli rettangoli CQK e BPK. avendo uguali un cateto e l'iJ>?• tenusa, sono uguali. e pertanto QC = PB. Ma allora AC=AQ+QC=AP+PB=AB, e dunque ABC è un triangolo isoscele. Come volevasi dimostrare. Il secondo paradosso che vi propongo ricorda un po' quello famoso di Zenone. Un signore di mezza età si reca a fare una pas– eggiata con il figlio quindicenne e il loro cane. li signore va a una velocità costante di 5 km. l'ora; il figlio va a IO km. l'ora; il cane. che corre a 20 km. l'ora, fa la spola fra il padre e il figlio. Dopo un'ora il signore ha percorso 5 km. e il ragazzo IO. In quale posizione, intermedia fra i due si trova il cane? Pensateci bene. La risposta. paradossale, è a fondo pagina: di lì comincia un nuovo proble– ma. Semplici problemi aritmetici Diofanto fu un matematico del III secolo d.C., greco-alessandrino, come Euclide. Apollonio. Pappo. Si occupò di soluzioni delle equazioni polinomiali e il suo nome è rimasto legato alle equazione diofantine: equazioni per cui si cer– cano soluzioni intere (numeri o ennuple di nu– meri interi). Un problema di tipo diofantino è la celebre congettura di Fermat (la più celebre, forse, del– le congetture matematiche non ancora dimo– strate. vere o false). Dice la congettura di Fer– mat (matematico di Tolosa, contemporaneo di Cartesio): «Non esiste nessuna terna dì numeri interi positivi che sia soluzione dell'equazione x1lf-y"'=z~con n intero maggiore di 2». (Natu– ralmente per n = 2 tali soluzioni esistono: ad esempio 3-+4~ s\ L'equazione che qui proponiamo è invece fa– cilmente risolvibile: è una sorta di omaggio scherzoso al grande matematico alessandrino, poichè l'incognita è l'età di Diofanto al mo– mento della sua morte. Si tratta di determinar– la sapendo che «la s4a infanzia durò un sesto della sua vita; la barba gli crebbe dopo un al– tro dodicesimo; si sposò dopo un altro settimo; ebbe 5 anni più tardi un figlio che visse la metà della vita di suo padre e morì 4 anni prima di di MarcelloGALEOTTI ....................................... ~ ..................•.......................... , .....................................••.....•..............•.......................... ····················································································•t ··•···············································································-···· ..............................................••.............••..............•••• .•. , ::::::································~·········································:::::: ...... ...... I. ■•■■ ' ..... I ■■•■■ ...... ' ..... I ■■■■■ ...... ...... ...... ...... , ..... ...... ...... ' ... ,,, . ' .... . 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Abbandonate ben presto le torte. da dividere nei modi più impen– sati, si passava a recipinti contenenti, in varia misura, dei liquidi, spesso provvisti di fori, in cui potevano talvolta miscelarsi liquidi diversi, secondo certe proporzioni. Ecco dunque un problema che è in questo spi– rito (può invitare a nostalgie, o a gare con i fi- gli). - Siano dati due recipienti. ad esempio due tini, A e B, contenenti lo stesso volume rispettiva– mente di acqua e vino. Si riempie un cucchiaio, o un raìnaiolo, di ac– qua dal recipiente A e la si versa in B. Si me– scola, e poi si riempie lo stesso cucchiaio del vino annacquato che è ora in B e lo si versa in A. Si mescola, e si continua a ripetere l'opera– zione. Domanda: Dopo avere ripetuto l'operazione sopra descritta per 4 volte, abbiamo aggiunto più acqua in Bo più vino in A? E dopo 6 vol– te? Numerologia e topologia Fra i geni del Medioevo pisano -con Buscheto, Bonanno, Nicola e Giovanni Pisano- ci fu an– che un matematico: Leonardo Fibonacci, viag– giatore e mercante, universalmente noto per la cosiddetta successione di Fibonacci: una se- quenza di numeri che comincia con O, i e di cui ciascun altro termine si ottiene sommando i due antecedenti. I numeri di Fibonacci com– paiono, magicamente, sia in fenomeni naturali -ad esempio nelle innervature di certe foglie– che in diverse questioni matematiche. Qui consideriamo una successione di numeri «di tipo Fibonacci» -a , a ,..., a ,...- così defini– ta: at= I a1.""1+1=2 a,=2+2+ I =5 a~2a,..='i~-t +a1.+a~ Mi chiedo, e ve lo chiedo, se di tale successione si può dimostrare elementarmente la seguente proprietà: Proposi:ione: Dato un qualunque numero inte– ro positivo K, esiste un indice n taie che a-«I e a.. ..:L sono entrambe multipli di K. La successione. e la proprietà sopra enunciata, sono legate a un sistema dinamico· (dato dall'i– terazione di una certa trasformazione) su un anello. Qui per anello si intende la figura geo– metrica ideale su cui sono modellate sia le fedi nuziali che le ciambelle (i bomboloni somiglia– no invece ad ellissoidi). In matematica lo si indica abitualment~con il nome latino toro (torus = cappio, cordonci– no), e lo si fa nascere da una costruzione topo– logica (cioè geometrica) al tempo stesso curio– sa e naturale. Fissiamo sul piano un sistema di coordinate cartesiane (O.x,y) e consideriamo il quadrato Q che ha vertici nei punti 0(0.0), L( I,O), M(l,l) e (0,1) (vedi figura 2). Definiamo un'applicazione p dell'intero piano sul quadrato Q in questo modo: per ogni punto (x,y) del piano scriviamo sia x che y come un intero virgola una parte decima– le (che può naturalmente essere infinita). Ora associamo ad (x,y) -tramite p- il punto (x ,y ) del quadrato Q tale che x ed y hanno la stessa parte decimale rispettivamente di x ed y e parte intera zero. Geometricamente la figura suggerisce come costruire p: si sovrappone ogni quadrato di area unitaria i cui vertici hanno per coordinate numeri'interi sul quadrato Q . Ma, a questo punto, dobbiamo ancora sovrap– porre il lato LM del quadrato sul lato ON, e il lato NM sul lato OL. Se incolliamo LM ad ON otteniamo un cilindro; incollando ulterior– mente NM ad OL, otteniamo un anello: il no– stro toro . Costruiamo ora una trasformazione invertibile del toro in se stesso . Partiamo dalla trasformazione del piano in sé così definita f(x,y) = (u,v) U=2x+y v=x+y Ora, se P0(x0,y0) è un punto del toro, appli– cando prima f e poi p otteniamo ancora un punto P (x ,y ) del toro. Chiamiamo g questa composizione di f con p: non è difficile dimo– strare che g è una trasformazione invertibile del toro in sé. Possiamo iterare la trasforma– zione g: definiamo glPo) = P1r= g(P1) g'Po) = P,= g(I\) ecc... La successione delle iterate di g - g, g , g , g .... - la chiamiamo un sistema dinamico (di– screto) sul toro. Un punto p del toro si dice pe– riodico rispetto al sistema dinamico dato se esiste un'iterata di g che lo riporta in se stesso: ·cioè se esiste un tale che 'ti g (P)= p L'esercizio che ora propongo -ai più fe"rrati- è questo: fate vedere che dalla Proposizione rela– tiva alla successione di tipo Fibonacci discende il seguente Teorema I punti periodici del siste– ma dinamico sul toro descritto sopra sono tut– ti e soli quelli con coordinate razionali. L·esercizio può anche essere svolto alla rove– scia: dimostrate il Teorema (utilizzando il fatto che g è invertibile) e fate vedere che da esso se– gue la Proposizione. Risposta al problema della posizione ·del cane Il cane può trovarsi in qualunque posizione in– termedia tra il padre e il figlio. Sia infatti A il punto di partenza dei 3: B il punto in cui si tro– va il padre dopo un'ora (a 5 km. da A); C il punto in cui si trova il figlio (a IO km. da A). Sia D un punto qualunque, nella sirada, tra B e C. Poniamo il cane in B. Ora facciamo per– correre ai 3 il cammino a ritroso. Dopo un'ora il padre sarà di nuovo in A·;così il figlio; e così anche il cane, poichè egli ad ogni istante si tro– va fra il padre e il figlio. Se ne conclude che qualunque posizione arbitraria D fra B e C è una soluzionè del problema. Questa risposta è tuttavia paradossale, poichè si tratta di un problema di tipo deterministico: essendo data la legge del moto del cane e la sua posizione iniziale (in A), la sua posizione in qualunque istante successivo deve essere uni– vocamente determinata. Da cosa nasce il para– dosso? Ovvero dov'è l'errore? O il trucco?