RECENSIONI Dal concetto « seguente immediatamente x nella serie dei numeri naturali » si deduce l'altro « seguente x nella serie dei numeri naturali». Si dirà che « y segue x nella serie dei numeri naturali » se y cade sotto tutti i concetti F per cui valgano le due proprietà seguenti: a) ogni numero, il quale segue immediatamente ad x cade sotto F; b) ogniqualvolta un numero d cade sotto F, qualunque numero che segue immediatamente a d cade ancora sotto F ». Posto allora, per definizione, che la proposizione « y segue ad x nella serie dei numeri naturali, oppure è identico ad x » risulta equivalente alla proposizione « y appartiene alla serie dei numeri naturali che inizia con x », e all'altra « x appartiene alla serie dei numeri naturali che termina con y », si può affermare che il numero che spetta al concetto « appartenente alla serie dei numeri naturali che ha inizio con O e termina con n 1, segue immediatamente n nella urie dei numeri naturali. Infatti i numeri O, ...., n sono in numero di n + 1. Con ciò, una volta dimostrate, sempre per via puramente logica, alcune proposizioni, tra c:ui l'univocità del termine che segue, o precede immediatamente n nella serie dei numeri naturali, si vengono a definire tutti i numeri naturali finiti. Non si esauriscono però in tal modo i numeri naturali, perché esistono anche i numeri naturali infiniti. Ad es., il numero che spetta al concetto « numero naturale finito » è un numero naturale infinito, perché i numeni naturali finiti sono in numero infinito. Il numero naturale infinito così introdotto, viene indicato dal Frege col simbolo "' 1 • L'affermazione « il numero naturale, che spetta ad un certo concetto F è "' 1 » significa la stessa cosa che l'altra « esiste una relazione la quale fa corrispondere ~n modo biunivoco gli oggetti che cadono sotto F ai numeri naturali finiti». I numeri naturali infiniti di Frege non sono altro che quelli c:he' oggi si è soliti chiamare numeri transfiniti cardinali, o «potenze». * * * Queste sono le basi poste dal Frege per costruire una trattazione punmente logica dell'aritmetica, senza ricorso a indefinibili; per portare a termine il suo compito, il Frege, constatata l'insufficienza del linguaggio ordinario, che non è un linguaggio rigorosamente logico, prese a <:ostruire il suo linguaggio simbolico, esposto nelle sue opere posteriori, già citate. · Ma, tornando all'opera che stiamo esaminando, dobbiamo accennare alla critica che il nostro autore fa, nell'ultimo capitolo, alla posizione kantiana circa i giudizi analitici. Secondo Frege, Kant ha sottovalutato l'importanza dei giudizi analitici « per una troppo limitata determinazione del concetto di giudizio analitico ;,. Kant infatti, egli dice, « sembra pensare il concetto come determinato in ogni caso dalle sue note caratteristiche », mentre questo « è soltanto uno dei modi per formare i conc:etti, e proprio dei meno fecondi ». Le definizioni notevoli della matematica, come quella di con!inuità di una funzione, e, del resto, tutte le definizioni introdotte dal Frege per i numeri naturali non sono di questo tipo. Per rendere intuitiva In differenza tra i due tipi -di definizioni, il Frege ricorre ad una immagine geometrica. Se si rappresentano le estensioni dei concetti mediante porzioni chiuse di piano, al concetto ottenuto coordinando le note caratteristic:he dei concetti dati corrisponderà la regione comune a tutte quelle porzioni cij piano. Le linee che delimitano tale nuova regione sono parti delle linee che delimitavano le regioni di partenza. Si tratta, in sostanza, di utilizzare le linee già tracciate in modo diverso. Invece le definizioni feconde della matematica c:orrispondono a regioni delimitate da nuove linee, che prima non erano affatto tracciate.
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExMDY2NQ==