RECENSIONI Tale definizione è legittima unicamente perché due rette parallele ad una terza lo sono anche tra loro, e quindi se a e b sono rette parallele, la totalità delle rette parallele ad a coincide con quella delle rette a b; altrimenti l'uguaglianza di direzione non godrebbe delle proprietà dell'uguaglianza. Si può allora definire come direzione di una retta a T estensione del concetto « retta parallela ad a ». In modo analogo, il Frege definisce due concetti F e G come 11g11almente numerosi quando è possibile porre in corrispondenza biunivoca gli oggetti che cadono sotto F con quelli che cadono sotto G. Ad es., data una società S in cui ogni individuo è coniugato con un altro appartenente alla stessa società, e in cui vige la monogamia, il concetto « uomo appartenente alla società S ,, risulta ugualmente numeroso a quello « donna appartenente alla società S » (I). E subito visto che se F è ugualmente numeroso a G, e G è ugualmente numeroso ad H, è anche F ugualmente numeroso ad H: se infatti, nella corrispondenza biunivoca tra F e G, ad x corrisponde y, e in quella tra G e H, a y corrisponde z, basta associare ad x, z, per ottenere una corrispondenza tra F e H. In base a ciò, si può definire « numero naturale spettante al concetto F » come l'estensione del concetto: « ugualmente numeroso ad F ». * * * Introdotto in tal modo il concetto di numero, il Frege passa alla definizione dei singoli numeri. Anche qui, come nella definizione generale di numero, egli si serve di nozioni che non appartengono ali'aritmetica, bensì alla logica, poiché, come abbiamo già detto, il Frege mira a ricondurre l'aritmetica alla logica, a dimostrare cioè che l'aritmetica non è che un capitolo della logica, e non richiede l' introduzione di nuovi concetti primitivi. La parte che segue è la più oscura e la più discussa del pensiero di Frege. Lo zero viene anzitutto definito nel modo seguente : zero è il 1111meronatu- ,.ale che spetta al concetto « dirng11aleda se stesso » (2). ! evidente che nessun oggetto cade sotto tale concetto, quindi ad esso spetta il numero zero. Si poteva scegliere, per definire lo zero, anziché questo concetto, qualunque altrn concetto sotto cui non cade alcun oggetto, ma quello prescelto è tale che per esso questa proptietà può essere definita per via puramente logica. Si passa poi a definire l'espressione « n segue immediatamente 111 nella serie dei numeri naturali ». Si dirà che 11 segue immediatamente 111 nella serie dei numeri naturali se esistono un concetto F ed un .oggetto x, che cade sotto F, per i quali valgono le seguenti proposizioni : 11 è il numero che spetta ad F, ed m è invece il numero che spetta al concetto « ciò· che cade sotto F ma è diverso da x ». Ciò premesso, si consideri il concetto « eguale a zero ». Sotto di esso cade un oggetto: lo zero. Invece, sotto il concetto « eguale a zero ma diverso da zero», non cade alcun oggetto, onde a quest'ultimo concetto spetta il numero zero, mentre al concetto « eguale a zero », in base alla definizione precedente, spetta il numero che segue lo zero nella serie di numeri naturali. Viene allora spontaneo di definire il nmnero 1 come q11el/oche spetta al conce//o « eg11a!ea zero ». (1) Si può definire la corrispondenza biunivoca tra gli oggetti rientranti in due concetti F e G, (senza ricorrere al concetto di numero), nel modo seguente: Gli oggetti rientranti in F sono in corrispondenza biunivoca con quelli rientranti in G. quando, è data una legge che associa ad ogni soggetto che cade sotto F uno che cade sotto G, e viceversa, di modo che se a x di F sono associati y e y' di G, e )11= y', e x ad x e x 1 è associato y, è x = x1 • ( 2) L'uguaglianza deve intendersi definita in modo puramente logico, mediante la frase di Leibniz « eodem sunt quorum unum potest substitui alteri, salva veritate ».
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExMDY2NQ==