282 RECENSIONI di generalità, enuncianti qualche asserto su particolari oggetti », o invece son tutte leggi universali. Il Frege prende anzitutto posizione contro l'opinione di Stuart-Mili, secondo cui le leggi dell'aritmetica sono verità induttive, leggi naturali rispecchianti fatti fisici realmente osservati, ed aventi in tali fatti la loro giustificazione. Egli mette in luce come le proposizioni aritmetiche si applichino anche a cose che non sono d 'ordine fisico, bensl logico. Escluso quindi che le leggi aritmetiche siano sintetiche a posteriori, egli esamina se esse possono essere sintetiche a priori, come affermava Kant. Il Frege sostiene che non è possibile basare le leggi aritmetiche sopra una « intuizione interna>, poiché tale intuizione può riguardare solo dei fatti particolari, mentre ·le leggi a ritmetiche sono universali, e ciascuna di esse comprende infiniti fatti particolari. Torneremo più oltre sul valore di questa posizione; per ora continuiamo a seguire il Frege che, dopo aver criticato le tesi diverse, avanza la sua, in base alla quale le leggi dcli' aritmetica sono di carattere analitico. * * * Il numero, afferma Frege, non è una proprietà delle cose esterne, poiché, per poter parlare del numero che spetta ad un dato aggregato, bisogna sapere quali si ano le unità dell'aggregato; e un oggetto costituisce un'unità o una pluralità a seco nda del modo in. cui noi lo concepiamo. Nondimeno, il numero non è qualcosa di soggettivo, poiché circa il numero da attribuire, ad es., ai petali di un fiore, o ai versi di un poema, o alle nas cite avvenute in un dato paese entro un dato tempo o a qualunque altra cosa, tutti c onvengono. Se si trattasse di qualcosa di soggettivo, essa non sarebbe comunicab ile. La base dell'oggettività del numero non risiede nell'impressione sensoriale, b ensl nella ragione. Il problema vien posto dal Frege in questi termini : « intorno a chi si pronuncia qualcosa, quando si pronuncia un giudizio numerico? ». Per rispondere a questa domanda, il Frege porta anzitutto l'attenzione sul concetto di unità. Egli mostra che non può attribuirsi agli oggetti la proprietà di essere uno: false risult ano infatti sia la definizione di unità data da Leibniz « è uno tutto ciò che può venir colto per mezzo di un atto del pensiero ,, (perché anche il molteplice può cogli ersi mediante un atto del pensiero), sia quella di Baumann, per cui è uno tutto ciò che è considerato come indiviso. La soluzione sta nel fatto che, afferma il Frege, « l'attribuzione di 1111 numero contiene sempre 1111' affermazione intorno ad 1111 co11ce110 » non ad un oggetto. Cosl, se si dice che « il pianeta Venere ha zero satelliti », non c'è un satellite, o gruppo di satelliti, intorno a cui si affermi qualcosa, bensl al concetto « satellite di Venere» viene attribuita la proprietà di non contenere alcun oggetto sotto di sé. Cosl - seguita il Frege - se si dice che « la carrozza dell'imperatore è trainata da quattro cavalli », non si attribuisce il numero quattro ad un oggetto o gruppo di ogge tti, bensl al concetto « cavallo che traina la carrozza dell'imperatore». Questo è il punto su cui si basa tutto il pensiero di Frege. Introducendo un punto di vista diffusosi poi nella logica moderna, in base al quale non vanno prese in esame le singole parole isolate, bensl le proposizi oni complete, il Frege, ,anziché definire il numero, indaga cosa significhi che a due diversi concetti F e G sia da attribuirsi lo stesso numero. Per meglio intendere ciò, il Frege mostra anzitutto come si giunga, analogamente, al concetto di direzione di una retta. Si suol dire che due rette hanno la stessa direzione, se sono parallele.
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