Fine secolo - 30 marzo 1985

,, ,/ " ,, ,,,, ~-..._-,.-:---,e-,,~,..,.....,,.. ,, o Figura 2 - Il grafico d~lla funzione f(x) = kx(l-x). Al varia~e del parametro variano il v~lore del massuno k/4 e quello del punto d1 equilibrio xtc,. 1 scere da una generazione all'altra, ad aumenta– re viceversa quando c'è posto per tutti. Per correggere in questa direzione il nostro . modello, bisognerà aggiungere, al termine a X(n) che esprime il processo di crescita, una quantità negativa, un freno, tanto più forte quanto maggiore è la concentrazione degli in– setti. Forse la equazione più semplice con cui ciò può essere fatto è la 2. X(n+ I) = a X(n) - b (X(n)) dove a e b sono parametri positivi che dipen– dono dalle condizioni ambientali. Il primo, che regola la tendenza della popolazione ad au– mentare, potrà -essere associato ad esempio alla quantità di cibo esistente, mentre il secon– do misurerà gli effetti negativi della competi– zione tra individui della stes~a specie. Da un punto di vista matematico.studiare l'e– quazione che precede è come studiare la:· X(n+ l) = k X(n) (I - X(n)) a cui si dà di solito il nome di "equazione logi- stica". · · È proprio analizzando l'andamento di fenome– ni descritti da una legge di questo tipo che il biologo R.May si è imbattuto tra i primi in di– namiche di natura caotica. Per descrivere quello che avviene, tracciamo il grafico della curva Y=kX(l-X) per valori di X compresi tra zero ed uno. Que~ sto, riportato nella figura 2, è un arco di para– bola che ha vertice nel punto di ascissa X = 1/2 ed ordinata Y = k/4. · · SupponiarJo di avere assegnato a k un valore co,mpreso tra uno e quattro (i casi k minore di 1 e k m~ggiore di 4 non presentano particolare interesse: in entrambi la popolazione tende ad estinguersi col passare del tempo). La figura ·3 indica un procedimento geometri– co che permette, data la condizione iniziale X(0), di calcolare tutte le configurazioni ad essa suécessive. Basta osservare che l'ordinata del punto di ascissa X(0) è uguale ad X(l), e che il punto di ascissa X(l) ed ordinata X(2) si ottiene conducendo da (X(0),X(l)) la parallela all'asse orizzontale fino ad intersecare la biset– trice del primo quadrante, e trnccia_ndo da tale intersezione la parallela all'asse verticale fino ad incontrare il grafico. Il procedimento può essere iterato per determinare tutti i valori as– sunti dalla grandezza X. Nella stessa figura si osserva che col passare delle generazioni il numero degli insetti si avvi– cina ad un valore fissato Xl(- In effetti il cam– mino tracciato è quello percorso dal sistema, ' qualunque ne sia il punto di partenza X(0), quando il valore del parametro è maggiore di uno e minore di 3. In tutti questi casi, infatti, il processo converge verso il punto di equilibrio Xk = l - 1/k. Ma cosa avviene quando k cresce e diviene più grande di 3? Il fenomeno è illustrato in figura 4. Quella a cui si assiste è una biforcazione: un cambia– mento strutturale nella dinamica del sistema. Partendo da un punto generico che non sia l' e- · qulibrio Xk, il ·modello prende ad oscillare, dopo un,.. numero di iterazioni sufficientemente ·grande, tra due valori X1 e X.2,. La colonia di insetti si espande e ei contrae regolarmentè, presentando un comportamento periodico che la riporta a possedere, ogni due anni, lo stesso numero di individui. La storia non finisce qui, questo fenomeno si ripet~. Continuando a far crescere il parametro k troviamo un nuovo valore di biforcazione, ki, attraversato il-quale il processo assume an– cora un nuovo' comportamento. Il sistema, in- t i / ·t-_·;;' / / x(z.) Figura 3 - Il moto del punto x(O) secondo la legge x(n+ 1) = kx{n) (1-x(n)). 11procedimento seguito nella scheda sulla\ funzione logistica. Si osserva che il punto x,c costituisce un equilibrio stabile a cui si - avvicina la traiettoria di un qualunque altro punto. " . fatti, non oscilla più tra due, ma tra quattro valori distinti. La popolazione continua a cre– scere e diminuire di generazione in generazio– ne, e la sua densità torna agli stessi valori ogni quattro anni. E così via. Presto ci si imbatte in un punto, k3, oltrepassando il ·quale si osserva un moto pe– riodico di periodo 8 = 2 3 ; quindi, in rapida successione, si ottengono sempre nuove bifor– cazioni per valori k.t,,~, ... ,k1 ,...,~ ... a cui cor– ri.spondono orbite di periodo 16 = 2~ 5 f "" 2 ,...,2 ,...,2 ,... . Questo processo accelerato di "raddoppiamen– to del periodo" cessa quando k raggiunge un valore, kcio, che per l'equazione logistica risul– ta uguale a 3,5700... Al di là di questo limite le cose divengono an– cora più complicate, ed in buona misura inde– scrivibili. Può accadere che il modello presenti infinite orbite· periodiche nessuna delle quali è stabile, e che le traiettorie di due punti, che al tempo zero sono "molto vicini", differiscano poi totalmente, mostrando quella che si usa chiamare "sensibilità alle condizioni iniziali". k è entrato nella sua regione caotica. Qui, seb– bene sia ancora possibile imbattersi in delle re– golarità (valori per cui continua ad esistere una orbita periodica che attrae quasi tutte le traiettorie), la pròbabilità di cadere in una si– tuazione di completo disordine non può essere trascurata. Tornando al nostro esempio, questo significa che per una colonia di insetti la cui dinamica sia descritta da una equazione in cui k è mag– giore qi koo, è lecito aspettarsi che il numero degli individui -vari, da una generazione all:al– tra, in modo apparentemente casuale, assu– mendo valori cpe, seppur calcolati attraverso una relazione deterministica, non mostrano al- cuna regolarità. · Le leggi del. caos Le sorprese non sono finite. La storia raccon- , tata finora: il percorso "dall'ordine al caos" che segue alle v~riazioni _del~-~:amet~o.k, ~re– senta, quando viene stud1atcfpm da v1cmo, 1m– portariti armonie interne. C'è come una rivin~ cita della ·legge sulla confusione, della logica del ricercatore, che guarda istintivamente ad una regola, su quegli stessi processi che sem– bravano all'inizio rifiutarla. Si tratta di questo. Il fenomeno del raddoppia– mento del periodo che caratterizzà l'equazione logistica si produce in corrispondenza di preci– si valori del parametro. Si è visto ad esempio come si passa da un punto di equilibrio ad un processo cìclico di periodo due appena k divie– ne maggiore di tre. A questa prima seguiva una cascata di biforcàzioni, definita da una successione infinita di valori k2,k.3,~, .. . conte– nuti nell'intervallo che va da 3 a koo, in cui la dinamica del modello mutava, mostrando or– bite attrattive il cui periodo 4,8, 16,32,... tende a divenire infinitamente grande. Si comprende come la distanza tra due valori successivi in questa serie di punti (da k-, a k2, da ka, a ka, ... , da k.,.a k,nt1,ecc.) sia progressi– vamente più piccola; ma questa riduzione non avviene a caso. Segue al contrario un processo regolare, dove di volta in volta l'ampiezza del– l'intervallo compreso tra due k "critici" conse– cutivi si ottiene da quella del precedente divi– dendo per una stessa costante che viene di soli– to indicata con la lettera delta. Non solo, ma una analoga 1 ~golarità può esse– re scoperta guardando alla "forma" delle orbi– te stabili, di periodo progressivamente più lun- a I . I / / / / / / / / / .. , I I I / ;, / / / / \ / y / / / \ x' Figura 4 - (a) Un eser,pio di orbita periodica: al punto x succede il punto x ~ e viceversa. Il ciclo formato da questi due stati é attrattivo: la traiettoria di ogni/unto tende verso l'orbita formata da x 4 ex do~ un numero sufficimte di iterazioni. (b} Il grafico della funzione · x(n+2) = f(x(n+ 1) = f(f(xxn)). Il l?rocedimento eseguito nella figura 3 si puo applicare in questo caso per calcolare lo 1 stato che succede ad uno stato a~gnato dopo due iterazioni. Si osserva che a xf corrisponde il punto stesso, come ci si attendeva trattandosi di un punto appartenente ad una orbita cli periodo 2. go, che caratterizzano il comportamentb del modello tra una biforcazione e l'altra. Come sappiamo quando il parametro k attra– versa un valore singolare raddoppia il numero delle configurazioni da cui il sistema è attratto nel suo procedere ciclico. Se si ha abbastanza pazienza per determinare questi punti e per ri– portarli in un grafico, si è colpiti, ancora una volta, dalla· regolarità con cui ogni singola or– bita sembra derivare dalla precedente. In particolare, 'i punti clie appartengono a traiettorie successive di periodo 1,2,4,8, 16,... risultano distribuiti secondo una legge di tipo ricorsivo, molto simile a quella che regola la costruzione di "oggetti frattali" (si veda per questo la figura 5 e la sua didascalia). Molte caratteristiche gçometriche individuabili nella forma delle orbite continuano a ripresentarsi, infatti, da u·na biforcazione all'altra e su scala via via più piccola; mediante un meccanismo che opera duplicando i ·punti per contrarne poi la distanza secondo un coefficiente di riduzio– ne, indicato dalla lettera alfa, che rimane lo stesso lungo tutto il processo. · La natura intimamente ordinata di questo fe– nomeno di transizione verso regimi caotici, per quanto interessante ed imprevista, potrebbe di– pendere tuttavia dalla forma particolarmente semplice della equazione con cui si è lavorato; ed andare perduta, quandi, appena si alterino le leggi del moto. Le cose non stanno così. I processi descritti hanno una loro "universalità", e si ripresenta– no, sostanzialmente invariati, quando la fun– zione logistica viene sostituita da una qualun– que altra funzione, il cui grafico, "ad una sola gobha ", assomiglia a quello della figura 2. Studiando questa identità di comportamento, ed in particolare il passaggio al caos attraverso una sequenza acèelerata di raddoppiamenti di periodo comune ai diversi modelli, M.Feigen– baum, dei Los Alamos Laboratories, giunse, nel 1978, a dei risultati addirittura stupefacen– ti. Non solo la descrizione di_come il sistema mo– difica la sua forma al variare del parametro re– sta "qualitativamente" la stessa in presenza di leggi del moto sostanzialmente diverse, ma tale analogia ha addirittura carattere "quantitati– vo". Accade infatti cnt! i numeri delta ed alfa, che regolavano la successione dei punti di bi- FINE SECOLO *· SABATO 30 MARZO Figura 5 - QueUo riportato sopra è un esempio di costruzione di un oggetto frattale. Si parte da A, il quadrato nero a sinistra, e s1 ottiene la figura B riducendo l'area del quadrato e incollando su ciascuno dei suoi lati uno stesso poligono a forma di !i La stessa operazione viene compiuuta su B - cioé si opera una riduzione di sca~e si àggiunge a ciascuno dei suoi lati uò - , costruendo così C. Con la stessa rego a si e_assada C a D e da D a E. (Juesto ti)?!> di costruzione geometrica è molto simile al processo di successive biforcazioni descritto nella scheda su "La funzione logistica", in cui a iterate du_plicaziomdel periodo corrisponde una riduzione della distanza minima fra due punti di un'orbita. forcazione e la geometria delle orbite nel caso particolare dell'equazione logistica, ricompaia– no esattamente gli. stessi, e cioé con gli stessi valori (delta =· 4,669201... alfa = 2,502907 ...), in tutti i sistemi in cui è pres~n– te un "effetto densitàJ', quale che sia la loro rappresentazione analitica. L'universalità non si limita soltanto alle forme ma riguarda anche le grandezze: nel gergo de– gli addetti ai lavori non è solo "universalità strutturale" ma anche "universalità metrica". Di qui' alcuni nuovi e · difficili interrogativi. Poichè la comparsa di queste costanti, i: modo in cui- i due "numeri di Feigenbaum" saltano fuori dalle più diverse equazioni, sembra quasi indicare l'esistenza, e la fortunata scoperta, di alcune proprietà nascoste, implicite nel nostro linguaggio. E con ciò il rischio di attribuire ad un processo reale rego 1 arità e forme che appar– tengono invece soltanto ai modelli matematici utilizzati nel descriverlo. Così parlando del caos ci siamo spinti molto lontano. Fino a toccare il ·rapporto che esiste tra metodi di ràppresentazione- e fenomeno rappresentato; il problema dell? neutralità d{ un linguaggio rispetto alla base empirica che ne è oggetto. · · Naturalménte,_quando si traggono conclusioni da un modello è necessario poter &istinguere quali delle proprietà osservate si riferiscono al fenomeno e quali riguardano invece gli stru– menti formali impiegati. Di fronte alla "uni– versalità" di certe dinamiche complesse questo problema si presenta in modo immediato. Per i matematici francesi P. Collet e 1 J.P. Eckmann è proprio tale scoperta che rende la costruzione di un modello un processo estre– mamente delicato: " ...il semplice fatto di adottare un certo tipo di rappresentazione, ad esempio la scelta di de– scrivere la situazione in tempo discreto, ha fin da subito una profonda influenza sui risultati dell'analisi. Ne segue che un nuovo tipo di do– mande, diverse da quelle che sono insegnate di solito all'interno di un curriculum scientifico, può divenire rilevante ..." (lterated maps on the interval as dynamical systems, Birkhauser, 1980) Dove cercare allora le risposte? Per Borges " ... è azzardato pensare che uua coordinazione di parole possa somigliare di molto all'universo ..." (Met.empsicosi della Tar– taruga). Eppure è difficile abbandonare questa illusio– ne. Anche perchè potrebbe di nuovo accadere, con questi due valori delta e alfa comparsi sul– lo schermo di un piccolo computer al tt!rmine di una lunga serie di calcoli, quanto è già avve-– nuto altre volte: che alcune nostre creazioni astratte risultino essere còsì sorprendentemen– te in accordo con quanto si è soliti chiamare natura.